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2022内蒙古考研线性代数知识框架梳理(二)

2021-04-28 15:49:32| 来源:内蒙古考研网

在利用高斯消元法求解线性方程组的过程中,涉及到一种重要的运算,即把某一行的倍数加到另一行上,也就是说,为了研究从线性方程组的系数和常数项判断它有没有解,有多少解的问题,需要定义这样的运算,这提示我们可以把问题转为直接研究这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。

数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,...,an),称ai是a的第i个分量。

n元有序数组写成一行,称为行向量,同时它也可以写为一列,称为列向量。要注意的是,行向量和列向量没有本质区别,只是元素的写法不同。

矩阵与向量经过行向量组和列向量组相联系。

对给定的向量组,可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之间的相互关系。

利用矩阵的列向量组,我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要注意这个结论的双向作用。

从简单例子(如几何空间中的三个向量)可以看到,如果一个向量a1能由另外两个向量a2、a3线性表出,则这三个向量共面,反之则不共面。为了研究向量个数更多时的类似情况,我们把上述两种对向量组的描述进行推广,便可得到线性相关和线性无关的定义。

经过一些简单例子体会线性相关和线性无关(零向量一定线性无关、单个非零向量线性无关、单位向量组线性无关等等)。

从多个角度(线性组合角度、线性表出角度、齐次线性方程组角度)体会线性相关和线性无关的本质。

部分组线性相关,整个向量组线性相关。向量组线性无关,延伸组线性无关。

回到线性方程组的解的问题,即一个向量b在什么情况下能由另一个向量组a1,a2,...,an线性表出?如果这个向量组本身是线性无关的,可经过分析立即得到答案:b,a1,a2,...,an线性相关。如果这个向量组本身是线性相关的,则需进一步探讨。

任意一个向量组,都可以经过依次减少这个向量组中向量的个数找到它的一个部分组,这个部分组的特点是:本身线性无关,从向量组的其余向量中任取一个进去,得到的新的向量组都线性相关,我们把这种部分组称作一个向量组的极大线性无关组。

如果一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出,则称A能被B线性表出。如果A和B能互相线性表出,称A和B等价。

一个向量组可能又不止一个极大线性无关组,但可以确定的是,向量组和它的极大线性无关组等价,同时由等价的传递性可知,任意两个极大线性无关组等价。

注意到一个重要事实:一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的,例如不共面的三个向量(对应线性无关)的确不可能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。

一个向量组的任意两个极大线性无关组所含的向量个数相等,我们将这个数目r称为向量组的秩。

向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有相同的秩。

有了秩的概念以后,我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉,从而得到线性方程组的有解的充分必要条件:若系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等,则有解,若不等,则无解。

向量组的秩是一个自然数,由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关,由此可见,秩是一个非常深刻而重要的概念,故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。

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(责任编辑:nmcf)

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