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2022内蒙古考研线性代数知识框架梳理(三)

2021-04-28 15:49:32| 来源:内蒙古考研网

为了求向量组的秩,我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩,行向量组的秩称为行秩。

对阶梯形矩阵进行考察,发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩,并且都等于阶梯形的非零行的数目,并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩,也不会改变矩阵的列秩。

任取一个矩阵A,过初等行变换将其化成阶梯形J,则有:A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩,即对任意一个矩阵来说,其行秩和列秩相等,我们统称为矩阵的秩。

过初等行变换化矩阵为阶梯形,即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性,则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之,初等变换不会改变矩阵的秩。因此如果只需要求矩阵A的秩,而不需要求A的列向量组的极大无关组时,可以对A既作初等行变换,又作初等列变换,这会给计算带来方便。

矩阵的秩,同时又可定义为不为零的子式的高阶数。

满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同,则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下:系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外,有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答:系数矩阵的秩r等于未知量数目n,有唯一解,r

齐次线性方程组的解的结构问题,可以用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时,基础解系所含向量个数等于n-r,用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。

过对具体实例进行分析,可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的解的结构,是由对应的齐次通解加上一个特解。

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(责任编辑:nmcf)

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